ド・モアブルの定理を使って2倍角・3倍角の公式を証明する方法を解説！

今回は高校数学Ⅲで学習する

『複素数平面』という単元から

ド・モアブルの定理を使って

が成り立つことを証明する方法を解説します。

2倍角の公式の導き方

まずは、ド・モアブルの定理を確認しておきましょう。

2倍角の公式を証明するときには、ド・モアブルの定理のnを2にした式を考えます。

$$(\cos \theta+i\sin \theta)^2=\cos 2\theta+i\sin 2\theta$$

え？なんでn=2で考えるかって？

それはね

2倍角の公式の形を見て

ド・モアブルの定理のn=2の場合を考えれば

2倍角の公式に似た式が作れるんじゃないかなーと予想できるからですね。

そして

先ほど作った式の

右辺は置いておいて、左辺を展開していきます。

展開は

$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$

2乗の展開公式を使ってやっていけばOKです。

すると

\(i^2=-1\)でしたね。この変形を加えてやると

$$=\cos^2 \theta+2i\cos \theta \sin \theta-\sin^2 \theta$$

この式を実部と虚部に分けてやります。

そして、元の式に戻して考えてみると

このようになります。

ここで、左辺と右辺の実部、虚部どうしが等しくなるはずなので

それぞれを等式で表してやると

$$\cos 2\theta=\cos^2 \theta-\sin^2 \theta$$

$$\sin 2\theta=2\sin \theta \cos \theta$$

となり、2倍角の公式を導くことができました。

式の変形をまとめておきます。

$$\cos 2\theta+i\sin 2\theta=(\cos \theta+i\sin \theta)^2$$

$$=\cos^2 \theta+2\cdot \cos \theta\cdot i\sin \theta+i^2\sin^2 \theta$$

$$=\cos^2 \theta+2i\cos \theta \sin \theta-\sin^2 \theta$$

$$=\cos^2 \theta-\sin^2 \theta+(2\sin \theta \cos \theta)i$$

実部と虚部を等式でとってやると

$$\cos 2\theta=\cos^2 \theta-\sin^2 \theta$$

$$\sin 2\theta=2\sin \theta \cos \theta$$

3倍角の公式の導き方

3倍角の公式を導くためには

ド・モアブルの定理をn=3にした式を考えていきます。

$$(\cos \theta+i\sin \theta)^3=\cos 3\theta+i\sin 3\theta$$

これを2倍角のときと同様に左辺を展開していきます。

3乗の展開公式は

$$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$$

でしたね。

$$(\cos \theta+i\sin \theta)^3$$

この式を実部と虚部にまとめて

元の式に戻してやります。

ここから左辺と右辺の実部、虚部をそれぞれ等式でとってやると

実部から

$$\cos 3\theta=\cos^3\theta-3\cos\theta\sin^2\theta$$

$$=\cos^3\theta-3\cos\theta (1-\cos^2 \theta)$$

$$=\cos^3\theta-3\cos\theta+3\cos^3\theta$$

$$=4\cos^3\theta-3\cos\theta$$

よって

$$\cos 3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta$$

を導くことができました。

虚部からは

$$\sin 3\theta=3\cos^2\theta\sin\theta-\sin^3\theta$$

$$=3(1-\sin^2\theta)\sin\theta-\sin^3\theta$$

$$=3\sin\theta-3\sin^3\theta-\sin^3\theta$$

$$=3\sin\theta-4\sin^3\theta$$

よって

$$\sin 3\theta=3\sin\theta-4\sin^3\theta$$

を導くことができました。

ド・モアブルの定理から2倍角・3倍角のまとめ

導き方の手順はとってもシンプルです。

2倍角を導きたいときには\(n=2\)で考えて

左辺と右辺の実部、虚部を見比べる。

3倍角を求めたいときには\(n=3\)で考えて

左辺と右辺の実部、虚部を見比べる。

それだけです。

途中の計算部分は少し複雑なので

見て、理解した！

ではなくて

手を動かして、理解した！

という状態にしておいてくださいね

ファイトだー！