ド・モアブルの定理を使って2倍角・3倍角の公式を証明する方法を解説！

今回は高校数学Ⅲで学習する

『複素数平面』という単元から

ド・モアブルの定理を使って

が成り立つことを証明する方法を解説します。

2倍角の公式の導き方

まずは、ド・モアブルの定理を確認しておきましょう。

2倍角の公式を証明するときには、ド・モアブルの定理のnを2にした式を考えます。

$$(\cos \theta+i\sin \theta)^2=\cos 2\theta+i\sin 2\theta$$

え？なんでn=2で考えるかって？

それはね

2倍角の公式の形を見て

ド・モアブルの定理のn=2の場合を考えれば

2倍角の公式に似た式が作れるんじゃないかなーと予想できるからですね。

そして

先ほど作った式の

右辺は置いておいて、左辺を展開していきます。

展開は

$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$

2乗の展開公式を使ってやっていけばOKです。

すると

\(i^2=-1\)でしたね。この変形を加えてやると

$$=\cos^2 \theta+2i\cos \theta \sin \theta-\sin^2 \theta$$

この式を実部と虚部に分けてやります。

そして、元の式に戻して考えてみると

このようになります。

ここで、左辺と右辺の実部、虚部どうしが等しくなるはずなので

それぞれを等式で表してやると

$$\cos 2\theta=\cos^2 \theta-\sin^2 \theta$$

$$\sin 2\theta=2\sin \theta \cos \theta$$

となり、2倍角の公式を導くことができました。

式の変形をまとめておきます。

$$\cos 2\theta+i\sin 2\theta=(\cos \theta+i\sin \theta)^2$$

$$=\cos^2 \theta+2\cdot \cos \theta\cdot i\sin \theta+i^2\sin^2 \theta$$

$$=\cos^2 \theta+2i\cos \theta \sin \theta-\sin^2 \theta$$

$$=\cos^2 \theta-\sin^2 \theta+(2\sin \theta \cos \theta)i$$

実部と虚部を等式でとってやると

$$\cos 2\theta=\cos^2 \theta-\sin^2 \theta$$

$$\sin 2\theta=2\sin \theta \cos \theta$$

3倍角の公式の導き方

3倍角の公式を導くためには

ド・モアブルの定理をn=3にした式を考えていきます。

$$(\cos \theta+i\sin \theta)^3=\cos 3\theta+i\sin 3\theta$$

これを2倍角のときと同様に左辺を展開していきます。

3乗の展開公式は

$$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$$

でしたね。

$$(\cos \theta+i\sin \theta)^3$$

この式を実部と虚部にまとめて

元の式に戻してやります。

ここから左辺と右辺の実部、虚部をそれぞれ等式でとってやると

実部から

$$\cos 3\theta=\cos^3\theta-3\cos\theta\sin^2\theta$$

$$=\cos^3\theta-3\cos\theta (1-\cos^2 \theta)$$

$$=\cos^3\theta-3\cos\theta+3\cos^3\theta$$

$$=4\cos^3\theta-3\cos\theta$$

よって

$$\cos 3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta$$

を導くことができました。

虚部からは

$$\sin 3\theta=3\cos^2\theta\sin\theta-\sin^3\theta$$

$$=3(1-\sin^2\theta)\sin\theta-\sin^3\theta$$

$$=3\sin\theta-3\sin^3\theta-\sin^3\theta$$

$$=3\sin\theta-4\sin^3\theta$$

よって

$$\sin 3\theta=3\sin\theta-4\sin^3\theta$$

を導くことができました。

ド・モアブルの定理から2倍角・3倍角のまとめ

導き方の手順はとってもシンプルです。

2倍角を導きたいときには\(n=2\)で考えて

左辺と右辺の実部、虚部を見比べる。

3倍角を求めたいときには\(n=3\)で考えて

左辺と右辺の実部、虚部を見比べる。

それだけです。

途中の計算部分は少し複雑なので

見て、理解した！

ではなくて

手を動かして、理解した！

という状態にしておいてくださいね

ファイトだー！

高校入試で使える公式集をプレゼント！

 

高校入試で使える公式をまとめた教材を作成しました！

 

定期テスト、入試で高得点を取るためには絶対に知っておきたいものばかりを集めています。

学校では教えてくれないような公式もありますよ(/・ω・)/

これは知らないと損をするかも…！？

 

無料の中学生メルマガ講座（中3生向け）にご登録いただいた方に、

高校入試で使える公式集をプレゼントさせていただいております。

 

こちらから公式集を無料で手に入れちゃってください！