ド・モアブルの定理を使って2倍角・3倍角の公式を証明する方法を解説!

今回は高校数学Ⅲで学習する

『複素数平面』という単元から

ド・モアブルの定理を使って

2倍角の公式

$$\sin 2\theta=2\sin \theta \cos \theta$$

$$\cos 2\theta=\cos^2 \theta-\sin^2 \theta$$

3倍角の公式

$$\sin 3\theta=3\sin \theta-4\sin^3 \theta$$

$$\cos 3\theta=4\cos^3 \theta-3\cos \theta$$

が成り立つことを証明する方法を解説します。

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2倍角の公式の導き方

まずは、ド・モアブルの定理を確認しておきましょう。

ド・モアブルの定理

$$(\cos \theta+i\sin \theta)^n=\cos n\theta+i\sin n\theta$$

2倍角の公式を証明するときには、ド・モアブルの定理のnを2にした式を考えます。

$$(\cos \theta+i\sin \theta)^2=\cos 2\theta+i\sin 2\theta$$

 

え?なんでn=2で考えるかって?

 

それはね

2倍角の公式の形を見て

ド・モアブルの定理のn=2の場合を考えれば

2倍角の公式に似た式が作れるんじゃないかなーと予想できるからですね。

 

そして

先ほど作った式の

右辺は置いておいて、左辺を展開していきます。

展開は

$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$

2乗の展開公式を使ってやっていけばOKです。

すると

$$(\cos \theta+i\sin \theta)^2=\cos^2 \theta+2\cdot \cos \theta\cdot i\sin \theta+i^2\sin^2 \theta$$

\(i^2=-1\)でしたね。この変形を加えてやると

$$=\cos^2 \theta+2i\cos \theta \sin \theta-\sin^2 \theta$$

この式を実部と虚部に分けてやります。

 

そして、元の式に戻して考えてみると

$$\cos^2 \theta-\sin^2 \theta+(2\sin \theta \cos \theta)i=\cos n\theta+\sin n\theta$$

このようになります。

ここで、左辺と右辺の実部、虚部どうしが等しくなるはずなので

それぞれを等式で表してやると

$$\cos 2\theta=\cos^2 \theta-\sin^2 \theta$$

$$\sin 2\theta=2\sin \theta \cos \theta$$

となり、2倍角の公式を導くことができました。

 

式の変形をまとめておきます。

$$\cos 2\theta+i\sin 2\theta=(\cos \theta+i\sin \theta)^2$$

$$=\cos^2 \theta+2\cdot \cos \theta\cdot i\sin \theta+i^2\sin^2 \theta$$

$$=\cos^2 \theta+2i\cos \theta \sin \theta-\sin^2 \theta$$

$$=\cos^2 \theta-\sin^2 \theta+(2\sin \theta \cos \theta)i$$

実部と虚部を等式でとってやると

$$\cos 2\theta=\cos^2 \theta-\sin^2 \theta$$

$$\sin 2\theta=2\sin \theta \cos \theta$$

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3倍角の公式の導き方

3倍角の公式を導くためには

ド・モアブルの定理をn=3にした式を考えていきます。

$$(\cos \theta+i\sin \theta)^3=\cos 3\theta+i\sin 3\theta$$

これを2倍角のときと同様に左辺を展開していきます。

3乗の展開公式は

$$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$$

でしたね。

 

$$(\cos \theta+i\sin \theta)^3$$

$$=\cos^3 \theta +3\cdot(\cos \theta)^2 \cdot i\sin \theta + 3\cdot\cos\theta\cdot(i\sin\theta)^2+(i\sin\theta)^3$$
$$=\cos^3\theta+3i\cos^2\theta \sin\theta+3i^2\cos\theta\sin^2\theta+i^3\sin^3\theta$$
$$=\cos^3\theta+3i\cos^2\theta \sin\theta-3\cos\theta\sin^2\theta-i\sin^3\theta$$

\(i\)の計算は以下を参考にしてください。

$$i^2=-1$$

$$i^3=i^2 \times i=-1\times i =-i$$

 

この式を実部と虚部にまとめて

$$=\cos^3\theta-3\cos\theta\sin^2\theta+i(3\cos^2\theta\sin\theta-\sin^3\theta)$$

元の式に戻してやります。

$$\cos^3\theta-3\cos\theta\sin^2\theta+i(3\cos^2\theta\sin\theta-\sin^3\theta)=\cos 3\theta+i\sin3\theta$$

ここから左辺と右辺の実部、虚部をそれぞれ等式でとってやると

実部から

$$\cos 3\theta=\cos^3\theta-3\cos\theta\sin^2\theta$$

$$=\cos^3\theta-3\cos\theta (1-\cos^2 \theta)$$

$$=\cos^3\theta-3\cos\theta+3\cos^3\theta$$

$$=4\cos^3\theta-3\cos\theta$$

 

よって

$$\cos 3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta$$

を導くことができました。

 

虚部からは

$$\sin 3\theta=3\cos^2\theta\sin\theta-\sin^3\theta$$

$$=3(1-\sin^2\theta)\sin\theta-\sin^3\theta$$

$$=3\sin\theta-3\sin^3\theta-\sin^3\theta$$

$$=3\sin\theta-4\sin^3\theta$$

 

よって

$$\sin 3\theta=3\sin\theta-4\sin^3\theta$$

を導くことができました。

 

式変形には、以下の性質を利用しています。

\(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\)より

$$\sin^2\theta=1-\cos^2\theta$$

$$\cos^2\theta=1-\sin^2\theta$$

 

ド・モアブルの定理から2倍角・3倍角のまとめ

導き方の手順はとってもシンプルです。

2倍角を導きたいときには\(n=2\)で考えて

左辺と右辺の実部、虚部を見比べる。

 

3倍角を求めたいときには\(n=3\)で考えて

左辺と右辺の実部、虚部を見比べる。

 

それだけです。

途中の計算部分は少し複雑なので

見て、理解した!

ではなくて

手を動かして、理解した!

という状態にしておいてくださいね

 

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