ド・モアブルの定理を使って2倍角・3倍角の公式を証明する方法を解説！

今回は高校数学Ⅲで学習する

『複素数平面』という単元から

ド・モアブルの定理を使って

が成り立つことを証明する方法を解説します。

スポンサーリンク

2倍角の公式の導き方

まずは、ド・モアブルの定理を確認しておきましょう。

2倍角の公式を証明するときには、ド・モアブルの定理のnを2にした式を考えます。

$$(\cos \theta+i\sin \theta)^2=\cos 2\theta+i\sin 2\theta$$

 

え？なんでn=2で考えるかって？

 

それはね

2倍角の公式の形を見て

ド・モアブルの定理のn=2の場合を考えれば

2倍角の公式に似た式が作れるんじゃないかなーと予想できるからですね。

 

そして

先ほど作った式の

右辺は置いておいて、左辺を展開していきます。

展開は

$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$

2乗の展開公式を使ってやっていけばOKです。

すると

\(i^2=-1\)でしたね。この変形を加えてやると

$$=\cos^2 \theta+2i\cos \theta \sin \theta-\sin^2 \theta$$

この式を実部と虚部に分けてやります。

 

そして、元の式に戻して考えてみると

このようになります。

ここで、左辺と右辺の実部、虚部どうしが等しくなるはずなので

それぞれを等式で表してやると

$$\cos 2\theta=\cos^2 \theta-\sin^2 \theta$$

$$\sin 2\theta=2\sin \theta \cos \theta$$

となり、2倍角の公式を導くことができました。

 

式の変形をまとめておきます。

$$\cos 2\theta+i\sin 2\theta=(\cos \theta+i\sin \theta)^2$$

$$=\cos^2 \theta+2\cdot \cos \theta\cdot i\sin \theta+i^2\sin^2 \theta$$

$$=\cos^2 \theta+2i\cos \theta \sin \theta-\sin^2 \theta$$

$$=\cos^2 \theta-\sin^2 \theta+(2\sin \theta \cos \theta)i$$

実部と虚部を等式でとってやると

$$\cos 2\theta=\cos^2 \theta-\sin^2 \theta$$

$$\sin 2\theta=2\sin \theta \cos \theta$$

スポンサーリンク

3倍角の公式の導き方

3倍角の公式を導くためには

ド・モアブルの定理をn=3にした式を考えていきます。

$$(\cos \theta+i\sin \theta)^3=\cos 3\theta+i\sin 3\theta$$

これを2倍角のときと同様に左辺を展開していきます。

3乗の展開公式は

$$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$$

でしたね。

 

$$(\cos \theta+i\sin \theta)^3$$

 

この式を実部と虚部にまとめて

元の式に戻してやります。

ここから左辺と右辺の実部、虚部をそれぞれ等式でとってやると

実部から

$$\cos 3\theta=\cos^3\theta-3\cos\theta\sin^2\theta$$

$$=\cos^3\theta-3\cos\theta (1-\cos^2 \theta)$$

$$=\cos^3\theta-3\cos\theta+3\cos^3\theta$$

$$=4\cos^3\theta-3\cos\theta$$

 

よって

$$\cos 3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta$$

を導くことができました。

 

虚部からは

$$\sin 3\theta=3\cos^2\theta\sin\theta-\sin^3\theta$$

$$=3(1-\sin^2\theta)\sin\theta-\sin^3\theta$$

$$=3\sin\theta-3\sin^3\theta-\sin^3\theta$$

$$=3\sin\theta-4\sin^3\theta$$

 

よって

$$\sin 3\theta=3\sin\theta-4\sin^3\theta$$

を導くことができました。

 

 

ド・モアブルの定理から2倍角・3倍角のまとめ

導き方の手順はとってもシンプルです。

2倍角を導きたいときには\(n=2\)で考えて

左辺と右辺の実部、虚部を見比べる。

 

3倍角を求めたいときには\(n=3\)で考えて

左辺と右辺の実部、虚部を見比べる。

 

それだけです。

途中の計算部分は少し複雑なので

見て、理解した！

ではなくて

手を動かして、理解した！

という状態にしておいてくださいね

 

ファイトだー！

スポンサーリンク

効率よく学習を進めていきたい方は必見！

この記事を通して、学習していただいた方の中には


もっといろんな単元の学習を進めていきたい！

という素晴らしい学習意欲を持っておられる方もいる事でしょう。

だけど

どこの単元を学習すればよいのだろうか。

何を使って学習すればよいのだろうか。

勉強を頑張りたいけど 何をしたらよいか悩んでしまって

手が止まってしまう…

そんなお悩みをお持ちの方もおられるのではないでしょうか。

そんなあなたには

スタディサプリを使うことをおススメします。

スタディサプリを使うことで

どの単元を学習すればよいのか 何を解けばよいのか

そういった悩みを全て解決することができます。

スタディサプリでは学習レベルに合わせて授業を進めることが出来るほか、たくさんの問題演習も行えるようになっています。

スタディサプリが提供するカリキュラム通りに学習を進めていくことで

何をしたらよいのか分からない…

といったムダな悩みに時間を割くことなく

ひたすら学習に打ち込むことができるようになります(^^)

また、スタディサプリにはこのようなたくさんのメリットがあります。

スタディサプリを活用することによって

今までの悩みを解決し、効率よく学習を進めていきましょう。

「最近、成績が上がってきてるけど塾でも通い始めたの？」

「どんなテキスト使ってるのか教えて！」

「勉強教えてーー！！」

スタディサプリを活用することで どんどん成績が上がり

友達から羨ましがられることでしょう(^^)

今まで通りの学習方法に不満のない方は、スタディサプリを使わなくても良いのですが

学習の成果を高めて、効率よく成績を上げていきたい方

是非、スタディサプリを活用してみてください。

スタディサプリでは、14日間の無料体験を受けることができます。

まずは無料体験受講をしてみましょう！

⇓　　⇓　　⇓　　⇓　　⇓　　⇓　　⇓

スタディサプリ小・中学講座

スタディサプリ高校講座