今回は数学Ⅲで学習する微分法の単元から
『三角関数の微分』
について解説していきます。
sin,cos,tanの微分をしていく上で覚えておきたい形がコレ
$$( \sin x)’ = \cos x$$
$$(\cos x)’=-\sin x$$
$$(\tan x)’=\frac{1}{\cos^2 x}$$
それでは、例題を通してsin,cos,tanの微分について理解を深めていきましょう。
sin,cos,tan微分の例題解説！
次の関数を微分せよ。
$$y=\sin 2x$$
〈解答〉
$$y’=\cos 2x \cdot (2x)’$$
$$=2\cos 2x$$
次の関数を微分せよ。
$$y=\cos (x^2+1)$$
〈解答〉
$$y’=-\sin (x^2+1) \cdot (x^2+1)’$$
$$=-2x\sin (x^2+1)$$
次の関数を微分せよ。
$$y=\tan 3x$$
〈解答〉
$$y’=\frac{1}{\cos^2 3x} \cdot (3x)’$$
$$=\frac{3}{\cos^2 3x}$$
次の関数を微分せよ。
$$y=\cos(\sin x)$$
〈解答〉
$$y’=-\sin (\sin x) \cdot (\sin x)’$$
$$=-\sin (\sin x) \cdot \cos x$$
次の関数を微分せよ。
$$y=\sin^2 x$$
〈解答〉
$$y’=2\sin x \cdot (\sin x)’$$
$$=2\sin x \cdot \cos x$$
$$=\sin2x$$
次の関数を微分せよ。
$$y=\cos^2 x$$
〈解答〉
$$y’=2\cos x \cdot (\cos x)’$$
$$=2\cos x \cdot (-\sin x)$$
$$=-\sin2x$$
次の関数を微分せよ。
$$y=\tan^2 x$$
〈解答〉
$$y’=2\tan x \cdot (\tan x)’$$
$$=2\tan x \cdot \frac{1}{\cos^2 x}$$
$$=2\frac{\sin x}{\cos x}\cdot \frac{1}{\cos^2 x}$$
$$=\frac{2\sin x}{\cos^3 x}$$
次の関数を微分せよ。
$$y=\sin^3 (2x+1)$$
〈解答〉
$$y’=3\sin^2 (2x+1) \cdot \{\sin (2x+1)\}’$$
$$=3\sin^2 (2x+1) \cdot \cos (2x+1)\cdot (2x+1)’$$
$$=6\sin^2 (2x+1)\cos (2x+1)$$
次の関数を微分せよ。
$$y=\sin x \cos x$$
〈解答〉
積の形になっているので
$$\{f(x)g(x)\}’=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$$
を用いて微分していきましょう。
$$y’=(\sin x)’\cos x+\sin x(\cos x)’$$
$$=\cos^2 x-\sin^2 x$$
$$=\cos 2x$$
次の関数を微分せよ。
$$y=\sin 3x \cos 5x$$
〈解答〉
$$y’=(\sin 3x)’\cos 5x+\sin 3x(\cos 5x)’$$
$$=3\cos 3x\cos 5x+\sin 3x(-5\sin 5x)$$
$$=3\cos 3x\cos 5x-5\sin 3x \sin 5x$$
次の関数を微分せよ。
$$y=\cos x \sin^2 x$$
〈解答〉
$$y’=(\cos x)’\sin^2 x+\cos x(\sin^2 x)’$$
$$=-\sin x\sin^2 x+\cos x\{2\sin x\cdot (\sin x)’\}$$
$$=-\sin^3 x+2\sin x\cos x \cdot \cos x$$
$$=-\sin^3 x+2\sin x\cos^2 x$$
$$=\sin x(-\sin^2 x+2\cos^2 x)$$
$$=\sin x(-\sin^2 x+2-2\sin^2 x)$$
$$=-3\sin^3 x+2\sin x$$
次の関数を微分せよ。
$$y=\frac{1}{\sin x}$$
〈解答〉
分数は次の形を利用して微分していきましょう。
$$\left\{ \frac{f(x)}{g(x)}\right\}’=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2}$$
$$y’=-\frac{(\sin x)’}{\sin^2 x}$$
$$=-\frac{\cos x}{\sin^2 x}$$
次の関数を微分せよ。
$$y=\frac{1}{\cos x}$$
〈解答〉
$$y’=-\frac{(\cos x)’}{\cos^2 x}$$
$$=\frac{\sin x}{\cos^2 x}$$
次の関数を微分せよ。
$$y=\frac{1}{\tan x}$$
〈解答〉
$$y’=-\frac{(\tan x)’}{\tan^2 x}$$
$$=-\frac{1}{\tan^2 x}\cdot \frac{1}{\cos^2 x}$$
$$=-\frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}\cdot \frac{1}{\cos^2 x}$$
$$=-\frac{1}{\sin^2 x}$$
次の関数を微分せよ。
$$y=\frac{\cos x}{2+\sin x}$$
〈解答〉
$$y’=\frac{(\cos x)'(2+\sin x)-\cos x(2+\sin x)’}{(2+\sin x)^2}$$
$$=\frac{-\sin x(2+\sin x)-\cos^2 x}{(2+\sin x)^2}$$
$$=\frac{-2\sin x-(\sin^2 x+\cos^2 x)}{(2+\sin x)^2}$$
$$=-\frac{2\sin x+1}{(2+\sin x)^2}$$
次の関数を微分せよ。
$$y=\frac{1-\sin x}{1+\cos x}$$
〈解答〉
$$=\frac{-\cos x(1+\cos x)-(1-\sin x)(-\sin x)}{(1+\cos x)^2}$$
$$=\frac{-\cos x-\cos^2 x+\sin x-\sin^2 x}{(1+\cos x)^2}$$
$$=\frac{-\cos x+\sin x-1}{(1+\cos x)^2}$$
まとめ
お疲れ様でした！
三角比の微分は、必ずこの形を覚えておきましょう。
$$( \sin x)’ = \cos x$$
$$(\cos x)’=-\sin x$$
$$(\tan x)’=\frac{1}{\cos^2 x}$$
また、場合によってはこれらの変形も必要になってくるので覚えておきましょう。
$$\sin^2 x=1-\cos^2 x$$
$$\cos^2 x=1-\sin^2 x$$
$$\tan^2 x=\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}$$
$$\sin 2x=2\sin x \cos x$$
$$\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x $$
$$=1-2\sin^2 x$$
$$=2\cos^2 x-1$$
2題ほど解答を間違えてたので直した方が良いかと。
ご指摘ありがとうございました！
訂正しております！！
中3の者です。
大変分かりやすい説明をどうもありがとうございます。
お陰で購入した問題集のテストが100点満点でした。
100点！！
す、すごすぎる…